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Mathématiques
584 documents en Sup PTSI
  • 16. Probabilités classiques - 17 documents
  • Annales corrigées - 11 documents
  • Applications - 11 documents
    • Formulaire Formulaire Applications linéaires
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      Problèmes Ce problème étudie des homographies du plan complexe qui laissent stable le demi-plan Im(z)>0 formé des nombres complexes de partie imaginaire strictement négative.
      Niveau de difficulté : 
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      Cours * Un peu de logique Tableaux de vérité ; quelques synonymies classiques ; conditions nécessaires et/ou suffisantes ; prédicats et quantificateurs. * Le langage des ensembles Ensembles et éléments ; opérations sur les ensembles ; parties d'un ensemble ; opérations sur les parties d'un ensemble. * Applications Généralités ; exemples d'applications ; prolongements et restrictions ; image d'une partie par une application ; image réciproque d'une partie par une application ; composition des applications ; applications injectives, surjectives, bijectives ; utilisation des applications caractéristiques ; familles d'éléments, familles d'ensembles. * Relations binaires Généralités ; propriétés éventuelles des relations binaires ; relations d'équivalence ; relations d'ordre ; majorants, minorants ; applications entre ensembles ordonnés;
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  • Arithmétique des entiers - 7 documents
    • Formulaire Formulaire Arithmétique basique
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      Exercices d'application Sur l'équation Diophantienne
      Niveau de difficulté : 
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      Cours # Structure d'anneau Définition, exemples ; calculs dans un anneau (développements, factorisations) ; formule du binôme ; groupe des éléments inversibles dans un anneau ; diviseurs de zéro ; anneau intègre ; éléments nilpotents ; sous-anneau d'un anneau ; morphismes d'anneaux ; noyau. # Structure de corps Définition, exemples ; sous-corps ; morphismes de corps ; corps des fractions d'un anneau intègre. # Arithmétique Bases de numération dans IN. Algorithmes de l'addition et du produit dans une base de numération b. Algorithmes d'exponentiation rapide ; division euclidienne dans Z ; divisibilité ; pgcd de deux entiers, propriétés arithmétiques usuelles ; algorithme d'Euclide ; entiers premiers entre eux ; Bezout ; résolution de ax+by=c dans Z ; algorithmes de recherche de u,v tq au+bv=pgcd(a,b) ; ppcm et propriétés ; entiers premiers ; décomposition en facteurs premiers...
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  • Calcul matriciel, systèmes linéaires, déterminants - 34 documents
  • Courbes et arcs paramétrés du plan - 6 documents
    • Cours * Arcs paramétrés du plan Représentations paramétriques ; tangente en un point d'un arc parramétré ; allure d'un arc au voisinage d'un point ; branches infinies ; étude globale des arcs paramétrés ; intersection d'un arc paramétré avec une droite. * Courbes planes en coordonnées polaires Coordonnées polaires d'un point du plan ; étude locale d'une courbe en polaires ; étude globale d'une courbe en polaires ; droites et cercles en polaires ; coniques ayant un foyer au pôle.
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      Cours * Rectification d'un arc du plan * Abscisse curviligne * Formules de Frenet dans le plan * Calcul du rayon et du centre de courbure
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      Problèmes Ce problème propose l'étude d'une famille d'arcs du plan dépendant d'un paramètre a. C'est notamment l'occasion d'effectuer une discussion suivant les valeurs de a pour déterminer les asymptotes, ainsi que le placement des courbes par rapport à celles-ci. On examine également l'existence de points doubles, de points stationnaires, ainsi que la condition pour que trois points d'une même courbe soient alignés (ce qui amène à la recherche des points d'inflexion.)
      Niveau de difficulté : 
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  • Dénombrement - 5 documents
    • Le chapitre « Dénombrement » n'est que rarement l'objet de questions de concours en tant que telles. Cependant, il est assez fréquent (voire systématique) [...]
      Exercices d'application Les exercices peuvent être traités comme exercices de dénombrement.
      Attention, l'exercice 3 utilise une notation hors programme en ECE. Le nombre de cas favorables doit être calculé en détail.
      Chapitres abordés : Dénombrement, Probabilités
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes Ce problème de révision de dénombrements fait le tour des raisonnements classiques, incontournables pour les concours : relation de récurrence entre cardinaux d’ensembles, partitions d’ensembles, raisonnement par récurrence, lien avec les applications. Les raisonnements présentés ici doivent être parfaitement maîtrisés.
      Niveau de difficulté : 
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      Exercices d'application 3 exercices utilisant le raisonnement combinatoire.
      Attention, le troisième exercice n'est pas au programme en ECE.
      Niveau de difficulté : 
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  • Dérivation, convexité - 38 documents
  • Développements limités, études de fonctions - 27 documents
    • Formulaire Formulaire Formules de Taylor et Développements limités
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      Formulaire Formulaire Intégration sur un segment
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      Cours * Limites des fonctions numériques Propriétés vraies "au voisinage d'un point" ; limite en un point ; limite à gauche ou à droite ; opérations sur les limites ; limites et relation d'ordre ; formes indéterminées. * Comparaisons locales Fonction dominée par une autre, négligeable devant une autre, équivalente à une autre ; propriétés des relations f=o(g) et f=O(g) ; propriétés des équivalents ; comparaisons usuelles. * Développements limités notion de développement limité ; développements limités usuels ; opérations sur les DL.
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  • Ensemble et aplication - 1 document
  • Ensembles finis - 14 documents
    • Problèmes Ce problème très complet propose une étude des nombres de Catalan. On y voit différentes interprétations de ces entiers, ainsi que de nombreuses applications à des problèmes de dénombrement.
      Niveau de difficulté : 
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      Cours * Entiers naturels L'ensemble N ; raisonnement par récurrence ; somme et produit dans IN ; relation d'ordre et différence ; division euclidienne ; pratique du raisonnement par récurrence. * Ensembles finis Cardinal d'un ensemble fini ; propriétés des cardinaux. * Dénombrements Applications entre ensembles finis ; arrangements et combinaisons ; binôme de Newton. * Ensembles dénombrables
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      Problèmes Ce problème étudie une bijection classique de N^2 sur N, et généralise cette application de deux manières différentes en des bijections de N^k sur N. Le problème est illustré par des développements Maple très significatifs.
      Niveau de difficulté : 
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  • Entiers naturels - 23 documents
  • Équations différentielles linéaires - 4 documents
    • Problèmes Sur le problème aux limites
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions. Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre. Problème III: une équation fonctionnelle. Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
      Niveau de difficulté : 
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      Cours # Équations différentielles linéaires d'ordre 1 Solution générale de l'équation homogène associée (H); solution générale de l'équation complète ; problème de Cauchy ; méthode de variation de la constante # Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants Équation caractéristique ; Solution générale de (H) dans le cas complexe, dans le cas réel ; m éthode de variation des constantes ; solution générale de l'équation complète (E) ; problème de Cauchy ; principe de superposition des solutions ; recherche d'une solution de (E) quand le second membre a une forme particulière.
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  • Espaces préhilbertiens complexe, espaces hermitiens - Aucun document
  • Espaces vectoriels de dimension finie - 15 documents
    • Formulaire Formulaire Espaces vectoriels
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      Cours * Espaces vectoriels, algèbres Structure d'espace vectoriel et d'algèbre ; combinaisons linéaires ; espaces vectoriels et algèbres classiques. * Sous-espaces vectoriels et sous-algèbres Définitions et caractérisations ; exemples classiques ; opérations entre sevs ; sommes directes ; sev supplémentaires. * Applications linéaires Définitions et notations ; exemples d'applications linéaires ; opérations sur les applications linéaires ; Image directe et image réciproque d'un sev ; image et noyau ; caractérisation de l'injectivité ; projections et symétries vectorielles (et réciproquement projecteurs et appns linéaires involutives.) * Ev en dimension finie Familles libres ou liées, familles génératrices, base (finies ou infinies) ; caractérisation dune application linéaire par l'image d'une base ; ev de dimension finie ; théorème de la base incomplète notion de dimension ; dimension d'un sev d'un ev de dimension finie ; dimension d'une somme (directe ou non) de sev ; base adaptée à une somme directe ; dimension d'un produit cartésien ; appns linéaires en dim finie, propriétés ; théorème de la dimension (du rang). * Formes linéaires, hyperplans, dualité Formes linéaires, espace dual ; hyperplans ; bases duales ; équations d'un sous-espace en dimension finie.
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      Cours * Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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  • Espaces vectoriels et applications linéaires - 17 documents
    • Formulaire Formulaire Applications linéaires
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      Cours * Espaces vectoriels, algèbres Structure d'espace vectoriel et d'algèbre ; combinaisons linéaires ; espaces vectoriels et algèbres classiques. * Sous-espaces vectoriels et sous-algèbres Définitions et caractérisations ; exemples classiques ; opérations entre sevs ; sommes directes ; sev supplémentaires. * Applications linéaires Définitions et notations ; exemples d'applications linéaires ; opérations sur les applications linéaires ; Image directe et image réciproque d'un sev ; image et noyau ; caractérisation de l'injectivité ; projections et symétries vectorielles (et réciproquement projecteurs et appns linéaires involutives.) * Ev en dimension finie Familles libres ou liées, familles génératrices, base (finies ou infinies) ; caractérisation dune application linéaire par l'image d'une base ; ev de dimension finie ; théorème de la base incomplète notion de dimension ; dimension d'un sev d'un ev de dimension finie ; dimension d'une somme (directe ou non) de sev ; base adaptée à une somme directe ; dimension d'un produit cartésien ; appns linéaires en dim finie, propriétés ; théorème de la dimension (du rang). * Formes linéaires, hyperplans, dualité Formes linéaires, espace dual ; hyperplans ; bases duales ; équations d'un sous-espace en dimension finie.
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      Cours * Matrices à coefficients dans un corps K Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice * Matrices et applications linéaires Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme. * Calcul du rang Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot. * Systèmes d'équations linéaires Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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  • Fonctions de deux ou trois variables - 4 documents
    • Cours # Topologie de RxR Normes sur RxR ; équivalence des nomres ; boules ouvertes ou fermées ; parties bornées ; suites d'éléments de RxR ; suites convergentes ; Bolzano-Weierstrass ; parties ouvertes ou fermées ; parties compactes. # Limites et continuité Applications partielles, applications composantes ; limite en un point ; caractérisation séquentielle ; continuité (lien avec les applications partielles) ; continuité sur un domaine ; opérations sur les applications continues ; continuité uniforme, applications lispchitziennes. # Applications de classe Ck Dérivées partielles ; Applications de classe C1 ; d éveloppements limités ; différentielle d'une application de classe C1 ; matrice jacobienne ; plan tangent à une surface z=f(x,y) ; applications de classe C2 ; théorème de Schwarz ; applications de classe Ck. # Changements de variables Composition d'applications de classe Ck ; difféomorphismes ; changements de variables ; passage en coordonnées polaires ; calcul du gradient et du laplacien en polaires. # Extension aux fonctions de trois variables Topologie de R3 ; applications composantes et applications partielles ; continuité, dérivées partielles ; applications de classe Ck ; passage en coordonnées cylindriques ; passage en coordonnées sphériques.
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      Problèmes Ce problème étudie l'action de l'opérateur T qui a une application f des deux variables x et y associe Tf = y df/dx + x df/dy. On étudie notamment la restriction de T aux fonctions polynomiales, ainsi que les valeurs et vecteurs propres de T. On termine en cherchant certaines solutions de l'équation T²f + 2aTf + bf = 0. Ce problème assez facile est notamment l'occasion d'effectuer plusieurs changements de variables dans des équations aux dérivées partielles.
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes Dans une première partie (considérée comme question de cours), on demande le calcul du laplacien en polaires. On étudie ensuite les fonctions harmoniques du plan qui ne dépendent que de l'angle polaire ou de la distance à l'origine. La partie suivante est consacrée à l'étude des opérations sur les fonctions harmoniques. On termine par une partie assez longue consacrée aux fonctions harmoniques polynomiales de deux variables, et on voit leur utilisation dans une propriété de décomposition des fonctions polynomiales homogènes.
      Niveau de difficulté : 
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  • Fonctions usuelles - 49 documents
  • Géométrie affine - 6 documents
    • Problèmes Dans ce problème, on étudie quelques propriétés classiques de la géométrie du triangle (droite d'Euler, orthocentre, triangle orthique, cercle des neuf points). L'originalité du problème est dans l'utilisation exclusive des nombres complexes dans toutes les démonstrations.
      Niveau de difficulté : 
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      Cours * Le plan affine Combinaisons linéaires, bases du plan ; translations, homothéties ; barycentres ; droites vectorielles et droites affines ; parties convexes ; d éfinition des déterminants d'ordre 2 et 3 ; équations de droites, parallélisme, intersections ; applications affines du plan ; projections, symétries, affinités ; applications affines et nombres complexes. * Le plan affine euclidien orienté Produit scalaire ; norme euclidienne dans le plan ; projections et symétries orthogonales ; distance dans le plan euclidien ; bases et repères orthonormés directs ou indirects ; mesures d'angles dans le plan orienté. * Quelques transformations du plan Déplacements du plan ; symétries et projections orthogonales ; antidéplacements du plan ; similitudes du plan ; composition de réflexions ; similitudes et mesures d'angle ; représentation analytique des similitudes ; la transformation z=>1/z. * Cercles dans le plan Définition, propriétés ; intersection de droites et de cercles ; propriétés angulaires ; représentation polaire ou paramétrique ; exemples de lignes de niveau ; cercle inscrit, cercles exinscrits.
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      Cours # Sous-espaces affines Translations ; sous-espaces affines, dimension, direction, droites et plans affines ; parallélisme et intersection de sous-espaces affines. # Repères cartésiens Représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan ; demi-droites, demi-plans ; équations cartésiennes d'un plan ; intersection de deux plans non parallèles ; déterminants et équations de plans ; faisceaux de plans ; équations cartésiennes d'une droite affine ; # Barycentres et convexité Points pondérés ; barycentres, propriétés ; barycentres et sous-espaces affines ; coordonnées barycentriques ; parties convexes ; enveloppe convexe ; parties onvexes délimitées par des plans ; # Applications affines Définition et caractérisation. Représentation analytique ; changements de repère ; isomorphismes affines ; homothéties-translations ; applications affines et sous-espaces affines ; projections, symétries, affinités ; barycentres et applications affines.
      DOCUMENT  
  • Géométrie euclidienne - 12 documents
    • Problèmes Ce problème propose trois démonstrations du célèbre théorème de Morley, qui énonce que les points d'intersection des trissectrices intérieures d'un trinagle définissent toujours un triangle équilatéral.
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes Ce problème étudie l'existence et une construction du point de Fermat d'un triangle ABC, c'est-à-dire du point M qui minimise la somme des distances MA+MB+MC.
      Niveau de difficulté : 
      DOCUMENT  
      Problèmes Dans ce problème, on étudie quelques propriétés classiques de la géométrie du triangle (droite d'Euler, orthocentre, triangle orthique, cercle des neuf points). L'originalité du problème est dans l'utilisation exclusive des nombres complexes dans toutes les démonstrations.
      Niveau de difficulté : 
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  • Groupes, anneaux, corps - 25 documents
  • Intégrales doubles ou triples - 3 documents
    • Problèmes La cardioïde fait partie des courbes en polaires les plus étudiées. Elle possède en effet de nombreuses propriétés, dont certaines sont étudiées ici. Citons notamment les caractéristiques du triangle formé par les trois points de la cardioïde où la tangente est parallèle à une direction donnée, ou encore la génération d'une cardioïde par roulement sans glissement d'un cercle sur un autre. On étudie également les propriétés différentielles de la cardioïde (abscisse curviligne, longueur, repère de Frenet, lieu du centre de courbure). On calcule certains éléments d'inertie de la courbe (ou de la plaque du plan délimité par elle). On termine en faisant rouler sans glisser une cardioïde sur un arche de cycloïde!
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes Le problème est beaucoup plus sérieux que son titre ne pourrait le laisser penser. On étudie ici un solide constitué de deux boules (de glaces) tangentes l\'une à l\'autre et tangentes intérieurement à un cône de révolution (le cornet). La dernière question (les smarties) vous donnera sans doute du fil à retordre. Un problème très complet, qui commence par des calculs de volumes (intégrales triples) et qui se poursuit avec des considérations géométriques pas toujours évidentes. Le corrigé complet, largement illustré, est suivi d'une étude du problème avec Maple (admirez l\'illustration finale!)
      Niveau de difficulté : 
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      Problèmes On connait (en général, car elle n’est pas au programme!) la méthode de Simson, qui permet d’approcher une intégrale sur un segment. On verra dans ce problème court et facile comment cette méthode se généralise aux intégrales doubles.
      Niveau de difficulté : 
      DOCUMENT  
  • Intégration sur un intervalle quelconque - 3 documents
    • Problèmes Un problème qui propose l'étude et le calcul de quelques intégrales classiques, dont la célèbre int(sin(x)/x, x = 0..infinity). On considère ensuite la famille d'intégrales int(sin(x)/x exp(-tx), x = 0..infinity) dépendant du paramètre t. Ensuite on étudie et on calcule explicitement (c'est très technique) les intégrales int([sin(x)/x]n, x=0..infinity), pour n>1.
      Niveau de difficulté : 
      DOCUMENT  
      Problèmes Dans ce problème on cherche à calculer l'intégrale F(a) = int(1/(1+t^a),R^+). Dans une première partie, on étudie le domaine de définition et la convexité de F. On calcule F(2), F(3), F(3/2). Dans une deuxième partie, on calcule F(a), pour tout a de la forme a = 2n/p, avec n,p entiers, et 2n > p. Cela nécessite des calculs trigonométriques, une décomposition en éléments simples, et du calcul intégral: tout cela est très technique donc très utile. Enfin, on aboutit à la formule F(a) = p/(a sin(p/a)), pour tout réel a > 1.
      Niveau de difficulté : 
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      Exercices d'application
      DOCUMENT  
  • Intégration sur un segment, primitives - 33 documents
    • Problèmes de concours Le problème traite de l'approximation d'une intégrale d'une fonction continue sur un segment par la méthode des rectangles. La première partie envisage le calcul explicite des approximations fournies par la méthodes des rectangles, à travers des fonctions Python. Elle se termine par la preuve que les quantités Tn convergent bien vers l'intégrale de f. La deuxième partie introduit les polynômes de Bernoulli fort utiles pour obtenir une formule d'intégration par parties successives. Cette formule permet entre autre de donner un développement asymptotique de Tn, qui précise la vitesse de convergence de Tn vers l'intégrale considérée.
      Niveau de difficulté : 
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      Formulaire Formulaire Intégration sur un segment
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      Exercices d'application Sommes de Riemann II, 5 exercices
      Niveau de difficulté : 
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  • Limites et continuité des fonctions numériques - 48 documents
    • Formulaire Formulaire Uniforme Continuité
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      Formulaire Formulaire Limites et Continuité
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      Cours * Fonctions logarithmes et exponentielles Logarithme népérien ; fonction exponentielle ; fonctions exponentielles de base quelconque ; fonctions puissances. * Fonctions hyperboliques Applications sh et ch ; application th. * Trigonométrie hyperbolique Formules usuelles ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation ; lLiens entre la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie circulaire. * Fonctions circulaires réciproques Fonctions arcsin, fonction arccos, fonction acrtan. * Fonctions hyperboliques réciproques Fonctions argsh, fonction argch, fonction argth.
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  • Logique et ensembles - 21 documents
  • Nombres complexes, trigonométrie - 30 documents
  • Nombres réels - 31 documents
    • Problèmes Ce problème (inspiré d'une épreuve de concours donnée à Polytechnique) est consacré à l'étude d'une boule dans un billard circulaire. On y trouve des sous-groupes de R, des racines complexes de l'unité. On constate que quand la trajectoire n'est pas fermée, elle est dense dans une couronne circulaire.
      Niveau de difficulté : 
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      Exercices d'application
      Niveau de difficulté : 
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      Cours * Le corps des nombres réels Le groupe (R,+) ; l'anneau (R,+,x) ; le corps (R,+,x) ; nombres rationnels ou irrationnels ; relation d'ordre ; exposants entiers relatifs ; Intervalles de R ; droite numérique achevée ; identités remarquables ; valeur absolue et distance ; quelques inégalités classiques. * Borne supérieure, borne inférieure Axiome de la borne supérieure ; propriétés de la borne Sup et la borne Inf ; congruences, partie entière ; valeurs approchées, densité de Q ; exposants rationnels.
      DOCUMENT  
  • Polynômes et fractions rationnelles - 23 documents
    • Formulaire Formulaire Polynômes
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      Cours # Polynômes à coefficients dans K Suites de K à support fini ; l'anneau K[X] ; degré et valuation ; évaluation des polynômes, lgorithme de Horner ; dérivation des polynômes ; formule de Leibniz ; forumule de Taylor. # Division dans K[X], Pgcd et Ppcm Divisibilité, division euclidienne ; algorithme d'Euclide ; pgcd ; algorithmes de calcul du pgcd, et des U,V tq Au+BV=pgcd(A,B) ; polynômes premiers entre eux ; Bezout, Gauss, etc. ; équation Au+BV=1 ; ppcm de deux polynômes. pgcd ou ppcm de plusieurs polynômes. # Racines des polynômes, factorisations Racines d'un polynôme ; racines distinctes, polynômes scindés ; identification entre polynômes et fonctions polynomiales ; théorème de d'Alembert relations coefficients-racines pour un polynôme scindé ; polynômes irréductibles ; décomposition en produit de polynômes irréductibles ; polynômes irréductibles dans C[X] et dans R[X]. # Fractions rationnelles Le corps K(X) ; opérations diverses sur fractions rationnelles ; degré, partie entière ; pôles et parties polaires ; décomposition en éléments simples ; exemples de référence.
      DOCUMENT  
      Problèmes Dans ce problème assez court et plutôt facile, on résout un système linéaire tridiagonal symétrique d'ordre n, dépendant d'un paramètre. Il faut d'abord étudier la matrice de ce système, et notamment son déterminant, qui est une fonction polynomiale du paramètre.
      Niveau de difficulté : 
      DOCUMENT  
  • Préliminaires - 1 document
  • Probabilités - 2 documents
  • Relations binaires - 3 documents
    • Cours * Un peu de logique Tableaux de vérité ; quelques synonymies classiques ; conditions nécessaires et/ou suffisantes ; prédicats et quantificateurs. * Le langage des ensembles Ensembles et éléments ; opérations sur les ensembles ; parties d'un ensemble ; opérations sur les parties d'un ensemble. * Applications Généralités ; exemples d'applications ; prolongements et restrictions ; image d'une partie par une application ; image réciproque d'une partie par une application ; composition des applications ; applications injectives, surjectives, bijectives ; utilisation des applications caractéristiques ; familles d'éléments, familles d'ensembles. * Relations binaires Généralités ; propriétés éventuelles des relations binaires ; relations d'équivalence ; relations d'ordre ; majorants, minorants ; applications entre ensembles ordonnés;
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      Exercices d'application
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      Problèmes On étudie ici la notion de groupe ordonné (un groupe muni d’une relation d’ordre compatible avec une relation d’ordre). Ce n’est pas trop difficile mais attention à cette relation d’ordre, qui peut n’être que partielle. D’autre part, sup{a,b} et inf{a,b}, dont il est question dans la dernière partie, désignent respectivement le plus petit des majorants de a et b, et le plus grand des minorants de a,b (cette notion est hors-programme sauf dans R).
      Niveau de difficulté : 
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  • Séries numériques - 7 documents
    • Problèmes de concours Le problème traite la quasi-totalité des notions d'analyse du programme (suites et séries de fonctions, séries entières, intégrale à paramètres, suites et séries d'intégrales...). Il constitue donc un excellent entraînement pour les parties d'analyse des problèmes de concours actuels.
      Niveau de difficulté : 
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      Exercices d'application Exercices d'oraux : Suites et séries
      Niveau de difficulté : 
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      Exercices d'application Séries à termes quelconques
      Niveau de difficulté : 
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  • Suites numériques - 33 documents
    • Problèmes de concours Le problème traite la quasi-totalité des notions d'analyse du programme (suites et séries de fonctions, séries entières, intégrale à paramètres, suites et séries d'intégrales...). Il constitue donc un excellent entraînement pour les parties d'analyse des problèmes de concours actuels.
      Niveau de difficulté : 
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      Exercices d'application Exercices d'oraux : Suites et séries
      Niveau de difficulté : 
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      Formulaire Formulaire Suites
      DOCUMENT  
  • Variables aléatoires discrètes - 16 documents
  • Vecteurs aléatoires discrets - 4 documents

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