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Formulaire
Formulaire Décidabilité Convexité
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Cours
* Fonctions logarithmes et exponentielles
Logarithme népérien ; fonction exponentielle ; fonctions exponentielles de base quelconque ; fonctions puissances.
* Fonctions hyperboliques
Applications sh et ch ; application th.
* Trigonométrie hyperbolique
Formules usuelles ; linéarisation ; opération inverse de la linéarisation ; lLiens entre la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie circulaire.
* Fonctions circulaires réciproques
Fonctions arcsin, fonction arccos, fonction acrtan.
* Fonctions hyperboliques réciproques
Fonctions argsh, fonction argch, fonction argth.
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* Primitives d'une application continue sur un intervalle
* Méthodes de calcul des intégrales
Intégration par parties ; intégrations par parties répétées ; changement de variable ; tableau de primitives usuelles.
* Compléments sur le calcul des primitives
Par linéarité ; primitives de sinpx cosqx ; primitives de P(x)exp(ax) où P est un polynôme ; primitives de P(x)sin(ax), P(x)cos(ax), P(x)sha(x), P(x)ch(ax) ; utilisation de récurrences ; primitives des fractions rationnelles ; Règles de Bioche ; fractions trigonométriques R(sin x,cos x,tan x) sans invariant ; fractions trigonométriques R(sh x,ch x,th x) ; exemples d'intégrales abéliennes.
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# Équations différentielles linéaires d'ordre 1
Solution générale de l'équation homogène associée (H); solution générale de l'équation complète ; problème de Cauchy ; méthode de variation de la constante
# Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants
Équation caractéristique ; Solution générale de (H) dans le cas complexe, dans le cas réel ; m éthode de variation des constantes ; solution générale de l'équation complète (E) ; problème de Cauchy ; principe de superposition des solutions ; recherche d'une solution de (E) quand le second membre a une forme particulière.
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* Limites des fonctions numériques
Propriétés vraies "au voisinage d'un point" ; limite en un point ; limite à gauche ou à droite ; opérations sur les limites ; limites et relation d'ordre ; formes indéterminées.
* Comparaisons locales
Fonction dominée par une autre, négligeable devant une autre, équivalente à une autre ; propriétés des relations f=o(g) et f=O(g) ; propriétés des équivalents ; comparaisons usuelles.
* Développements limités
notion de développement limité ; développements limités usuels ; opérations sur les DL.
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* Arcs paramétrés du plan
Représentations paramétriques ; tangente en un point d'un arc parramétré ; allure d'un arc au voisinage d'un point ; branches infinies ; étude globale des arcs paramétrés ; intersection d'un arc paramétré avec une droite.
* Courbes planes en coordonnées polaires
Coordonnées polaires d'un point du plan ; étude locale d'une courbe en polaires ; étude globale d'une courbe en polaires ; droites et cercles en polaires ; coniques ayant un foyer au pôle.
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* Continuité
Continuité en un point ; propriétés (opérations, caractérisation séquentielle) ; continuité sur un intervalle ; théorème de la bijection réciproque ; continuité uniforme ; applications lipschitziennes.
* Dérivabilité d'une fonction numérique
Dérivabilité en un point ; dérivabilité à gauche ou à droite en un point ; opérations sur les applications dérivables en un point.
* Dérivabilité sur un intervalle
Applications dérivables, applications de classe C1 ; extremums d'une fonction dérivable ; Rolle et accroissements finis ; monotonie des applications dérivables.
* Applications de classe Ck
Dérivées successives ; opérations sur les applications de classe Ck ; formules de Taylor.
* Applications convexes
Définitions équivalentes de la convexité ; régularité des applications convexes ; inégalités de convexité.
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* Intégrale des fonctions continues par morceaux
Fonctions en escaliers ; intégrale des fonctions en escaliers ; fonctions continues par morceaux ; intégrale des fonctions continues par morceaux ; propriétés de l'intégrale (linéarité, positivité, croissance, inégalité de la moyenne, valeur moyenne, inégalité de Cauchy-Schwarz, relation de Chasles, invariance de l'intégrale par translation) ; extension aux applications définies ``presque partout'' ; extension de la définition et nouvelle notation.
* Calcul approché des intégrales
Convergence des sommes de Riemann ; méthode des trapèzes.
* Primitives et intégrale d'une fonction continue
Le théorème fondamental et ses conséquences ; méthodes de calcul des intégrales ; tableau de primitives usuelles.
* Fonctions à valeurs complexes
Limites et continuité ; dérivabilité ; intégration.
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* Rectification d'un arc du plan
* Abscisse curviligne
* Formules de Frenet dans le plan
* Calcul du rayon et du centre de courbure
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# Topologie de RxR
Normes sur RxR ; équivalence des nomres ; boules ouvertes ou fermées ; parties bornées ; suites d'éléments de RxR ; suites convergentes ; Bolzano-Weierstrass ; parties ouvertes ou fermées ; parties compactes.
# Limites et continuité
Applications partielles, applications composantes ; limite en un point ; caractérisation séquentielle ; continuité (lien avec les applications partielles) ; continuité sur un domaine ; opérations sur les applications continues ; continuité uniforme, applications lispchitziennes.
# Applications de classe Ck
Dérivées partielles ; Applications de classe C1 ; d éveloppements limités ; différentielle d'une application de classe C1 ; matrice jacobienne ; plan tangent à une surface z=f(x,y) ; applications de classe C2 ; théorème de Schwarz ; applications de classe Ck.
# Changements de variables
Composition d'applications de classe Ck ; difféomorphismes ; changements de variables ; passage en coordonnées polaires ; calcul du gradient et du laplacien en polaires.
# Extension aux fonctions de trois variables
Topologie de R3 ; applications composantes et applications partielles ; continuité, dérivées partielles ; applications de classe Ck ; passage en coordonnées cylindriques ; passage en coordonnées sphériques.
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Exercices d'application
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Problèmes
Un problème archi-classique et plutôt facile, où on introduit la famille des polynômes de Chebyshev, et où on prouve que ces polynômes possèdent une célèbre propriété de minimalité. A ne pas manquer.
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Problème I: Une équation différentielle linéaire d'ordre 1, avec recollement de solutions.
Problème II: Une équation différentielle linéaire d'ordre 2, avec paramètre.
Problème III: une équation fonctionnelle.
Problème V: Une équation différentielle avec conditions initiales.
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Ce problème est consacré à l'étude d'une méthode de calcul approché de l'intégrale d'une fonction sur un segment, avec formule de majoration de l'erreur commise.
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Un sujet extrêmement classique, que vous rencontrez forcément sur votre route de "taupin".
A ne pas manquer donc, d’autant plus de de nombreux thèmes y apparaissent: suites numériques, formules de Taylor et majoration, intégrales, polynômes, sommes de séries...
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Vous n’échapperez sans doute pas aux polynômes de Chebyshev en classe préparatoire. On traite ici d’un des aspects de cette famille: l’approximation uniforme d’une fonction continue sur un segment.
Un problème très complet. A voir absolument.
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On cherche toutes les applications de R dans R qui satisfont à la relation f((x+y)/(1+xy))=f(x)f(y), et qui ont une dérivée positive à l’origine.
Partant d’une solution f (en supposant qu’elle existe) on découvre peu à peu les propriétés de f, jusqu’à identifier les deux seules solutions.
Un problème intéressant, et qui est le modèle de beaucoup d’autres.
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Dans ce problème, on étudie plusieurs applications dont les développements limités à l’origine sont très voisins.
Il en résulte des inégalités qui fournissent une approximation (d’une précision ajourd’hui modeste, mais qui dut être intéressante à l’époque où ce thème fut pour la première fois étudié.)
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On cherche à estimer le maximum de la fonction qui à x associe x(x-1)...(x-n)a^(x), où n est un entier et où a est un paramètre réel strictement positif.
Cela conduit à des calculs approchés d’intégrales! On utilise les techniques classiques de majoration, notamment l’inégalité de Taylor-Lagrange.
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Le thème de la formule d’Euler (et des nombres de Bernoulli, qui y apparaissent) est extrêmement classique, et souvent donné aux concours des grandes écoles d’ingénieurs.
A faire absolument.
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Le but de ce problème est d’approcher numériquement la solution d’une équation différentielle linéaire avec "conditions aux limites".
On y utilise beaucoup les techniques classiques du type "Rolle" et "Accroissemens finis".
Quelques passages assez techniques.
Au bout du compte, un très joli problème: à ne pas manquer!
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Dans une première partie, on étudie le sens de variation de l’application f(x)=exp(-1/x), et le comportement d’une suite numérique liée à f.
Dans la seconde partie, on établit la forme générale des dérivées succesives de f, et notamment la famille des polynômes qui apparaît dans cette expression.
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Les quatre exercices indépendants qui composent ce problème illlustrent parfaitement l’importance des études locales (et notamment l’utilisation des développements limités) dans l’étude d’une fonction numérique.
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Ce problème est constitué de trois parties indépendantes. Dans chacune d’elles, on étudie une suite numérique. Ces trois études sont loin d’être évidentes, et nécessitent des calculs d’encadrements parfois subtils.
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On se propose ici d'étudier la droite qui approche au mieux un nuage de points du plan (en passant en revue plusieurs critères d'approximation différents.)
Joli problème, assez technique, qui peut être traité en débute d'année.
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On étudie ici une équation fonctionnelle dont les solutions sont des fonctions convexes.
Un problème très progressif, d'un bon niveau général, idéal pour bien comprendre la notion de convexité.
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La méthode de Newton est un moyen classique pour approcher la solution d'une équation f(x) = 0 par itérations successives. Dans une première partie, après quelques généralités sur les fonctions contractantes, on étudie la rapidité de convergence de cette méthode: localement (d'une façon générale) puis globalement (sur deux exemples). La deuxième partie est consacrée aux cas des applications polynomiales, quand il s'agit de trouver la plus grande racine réelle. On voit notamment comment le degré de P ou la multiplicité de la racine cherchée peuvent influencer les performances de la méthode.
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Ce texte est constitué de deux problème indépendants. Dans chacun d'eux, on étudie une famille de fonctions dépendant d'un paramètre: études locales (demi-tangentes, asymptotes et placements) et globales (sens de variation, tracé des courbes). C'est calculatoire donc formateur et utile.
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Dans ce problème on cherche les solutions continues des équations fonctionnelles suivantes:
(I) f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y),
(II) f(x-y) = f(x)f(y) + g(x)g(y),
(III) f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)g(y).
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Un problème qui propose l'étude et le calcul de quelques intégrales classiques, dont la célèbre int(sin(x)/x, x = 0..infinity).
On considère ensuite la famille d'intégrales int(sin(x)/x exp(-tx), x = 0..infinity) dépendant du paramètre t.
Ensuite on étudie et on calcule explicitement (c'est très technique) les intégrales int([sin(x)/x]n, x=0..infinity), pour n>1.
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