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Formulaire
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Formulaire Systèmes linéaires et Matrices
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Cours
Partie I : Applications multilinéaires alternées
Partie II : Application "déterminant dans une base"
Partie III : Déterminant d’un endomorphisme, d’une matrice
Partie IV : Calcul des déterminants
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I.1 Applications multilinéaires
I.2 Applications multilinéaires alternées
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II.1 Cas de la dimension n=1,2,3
II.2 Généralisation à la dimension n
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III.1 Déterminant d’un endomorphisme
III.2 Déterminant d’une matrice
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IV.1 Notations des déterminants
IV.2 Propriétés calculatoires
IV.3 Développements d’un déterminant
IV.4 Déterminants particuliers
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II.1 Définition et premières propriétés
II.2 Polynôme caractéristique et valeurs propres
II.3 Polynôme caractéristique et sous-espaces stables
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III.1 Définitions et premières propriétés
III.2 Conditions de diagonalisabilité
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IV.1 Diagonalisation d’une matrice
IV.2 Applications de la diagonalisation
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Définition.
Condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice A soit trigonalisable. Conséquence sur les valeurs propres des puissances de A.
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* Matrices à coefficients dans un corps K
Définitions ; matrices particulières ; opérations sur les matrices (structure d'ev pour les matrices de type (n,p), d'algèbre pour les matrices carrées d'ordre n) ; diverses méthodes de calculs de puissances de matrices ; matrices triangulaires, diagonales ; transposition ; matrices symétriques, antisymétriques ; trace d'une matrice
* Matrices et applications linéaires
Interprétation matricielle des applications linéaires ; changements de bases ; matrices équivalentes, matrices semblables ; trace d'une matrice, d'un endomorphisme.
* Calcul du rang
Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire, d'une matrice ; matrices échelonnées ; opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes ; calcul du rang ; calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot.
* Systèmes d'équations linéaires
Différentes interprétations ; structure de l'ensemble des solutions ; systèmes de Cramer ; résolution par la méthode du pivot.
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* Applications multilinéaires
applications multilinéaires alternées ; application ``déterminant dans une base'' (en dimension n=1,2,3 puis généralisation.)
* Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice
Définitions propriétés opératoires ; déterminant et inversibilité ; déterminant et transposition.
* Calcul des déterminants
n-linéarité, opérations sur les lignes ou les colonnes, développements, comatrice. Déterminants particuliers (triangulaires, triangulaires par blocs, déterminants de Van Der Monde.)
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# Sous-espaces affines
Translations ; sous-espaces affines, dimension, direction, droites et plans affines ; parallélisme et intersection de sous-espaces affines.
# Repères cartésiens
Représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan ; demi-droites, demi-plans ; équations cartésiennes d'un plan ; intersection de deux plans non parallèles ; déterminants et équations de plans ; faisceaux de plans ; équations cartésiennes d'une droite affine ;
# Barycentres et convexité
Points pondérés ; barycentres, propriétés ; barycentres et sous-espaces affines ; coordonnées barycentriques ; parties convexes ; enveloppe convexe ; parties onvexes délimitées par des plans ;
# Applications affines
Définition et caractérisation. Représentation analytique ; changements de repère ; isomorphismes affines ; homothéties-translations ; applications affines et sous-espaces affines ; projections, symétries, affinités ; barycentres et applications affines.
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* Orientation, produit mixte, produit vectoriel
Orientation d'un espace euclidien ; produit mixte dans un espace euclidien orienté.
* Produit vectoriel dans l'espace orienté de dimension 3
Définition, propriétés ; interprétation géométrique ; distance d'un point à une droite ; double produit vectoriel ; division vectorielle.
* Sous-espaces affines et orthogonalité
Sous-espaces affines orthogonaux ; normales à un plan affine ; équations de plans ; plans perpendiculaires ; projection orthogonale sur un sous-espace affine ; distance d'un point à un sous-espace affine ; perpendiculaire commune à deux droites non parallèles ; plan médiateur de deux points.
* Angles et isométries en dimension 3
Angles en dimension 3 (entre vecteurs, entre droites, entre plans) ; isométries affines ; réflexions ; déplacements et antidéplacements ; classification des isométries affines en dimension 3.
* Sphères dans l'espace
Définitions, équations, points diamétralement opposés ; intersection d'un plan et d'une sphère ; plans tangents à une sphère ; intersection de deux sphères ; puissance d'un point par rapport à une sphère ; représentation paramétrique.
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Exercices d'application
Exercices d'oraux : Algèbre linéaire
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Problèmes
Dans ce problème, on étudie l’ensemble des combinaisons linéaires des translatées x->f(x+a) d’une même application f.
On constate que cet ensemble (qui est bien sûr un espace vectoriel) est de dimension finie si et seulement si f est solution d’une équation différentielle à coefficients constants.
Un très joli problème qui mèle espace vectoriels, systèmes de Cramer, déterminants, dérivation et... équations différentielles.
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Un problème exigeant, où il est beaucoup question de déterminants extraits, et où la notion de comatrice joue un rôle important. Un problème "petit mais costaud", pour ceux qui préfèrent les difficultés conceptuelles aux calculs routiniers.
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Un problème solide et instructif, où on voit calculer (de trois manières différentes) le déterminant d'une matrice dépendant d'un paramètre. On y voit aussi comment calculer le rang et le noyau de cette matrice. En filigrane, il s'agit aussi de calculer les valeurs et vecteurs propres d'une matrice antisymétrique.
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Un problème qui présente une méthode de résolution itérative de systèmes linéaires. On y utilise des techniques de valeurs propres et notamment le rayon spectral: celui-ci permet de caractériser la rapidité avec laquelle la méthode converge vers une solution du système.
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La notion de rayon spectral (plus grand module des valeurs propres réelles ou complexes d’une matrice) apparaît de façon récurrente dans les problèmes posés aux concours. Ce problème fait le point sur cette notion.
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Un sujet très classique, développé ici dans le détail. Une des questions nécessite une bonne connaissance de la notion de base duale.
Finalement un problème très complet où il est beaucoup question de formes linéaires en dimension finie. On y voit comment des techniques d’algèbre linéaire permettent de déterminer, par exemple, tous les carrés magiques d’ordre 3.
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La décomposition LU des matrices inversibles est un thème très classique, souvent abordé dans les problèmes de concours.
Ce thème est ici traité dans le détail. Le problème est assez long et technique. On y utilise abondamment les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrices, et des calculs de matrices par blocs. Il vous faudra une bonne motivation, mais ça vaut le coup.
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On voit ici comment inverser une matrice carrée A d’ordre n par une succession d’opérations élémentaires sur les lignes. On peut même utiliser ces opérations pour calculer le déterminant de A et pour décomposer A sous la forme "LU".
Attention: la dernière question ne peut pas être traitée en PCSI et en PTSI.
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Un problème pas très long, mais vraiment technique, et qui explore le thème classique des matrices stochastiques. Puissances de matrices, récurrences, inégalités, valeurs propres, etc.
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Les quaternions forment le premier exemple historique d’un corps non commutatif (Hamilton.)
Ce problème aborde l’étude de structures algébriques (groupes, anneaux, corps), en liaison avec la réduction des matrices (valeurs propres, déterminants, polynômes caractéristiques.)
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Un problème assez court et plutôt facile. On étudie une famille de matrices M dépendant de deux paramètres. Pour calculer les puissances de M, on utilise deux méthodes distinctes, l’une fondée sur la recherche des valeurs propres de M, l’autre sur une récurrence.
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Dans ce problème, on s’intéresse aux matrices M qui commutent avec une matrice A donnée. Ces matrices M forment ce qu’on appelle le commutant de A, et l’étude de ce commutant conduit à une discussion sur les valeurs propres de A.
Très intéressant et complet. A ne pas manquer!
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On étudie ici l’approximation "au sens des moindres carrés" d’un nuage de n points du plan par un polynôme de degré inférieur ou égal à n-1.
Pour résoudre ce problème, on utilise deux méthodes différentes: une approche matricielle et un point de vue géométrique (produit scalaire, projection orthogonale...)
Un sujet très classique.
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Le thème des déterminants de Gram est assez classique. Il permet entre autre de calculer la distance d’un point à un sous-espace d’un espace euclidien. Dans ce problème, il est donc question de produit scalaire, de valeurs propres, de projections orthogonales ... et de déterminants.
Un bon sujet de révision sur les espaces euclidiens.
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Le problème est consacré à l’étude des familles de vecteurs d’un espace euclidien qui sont acutangles (resp. obtusangles) c’est-à-dire dont les produits scalaires deux à deux sont tous positifs (resp. négatifs).
C eproblème fait suite à celui consacré aux matrices et aux déterminants de Gram.
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On étudie ici la décomposition d’une matrice sous la forme QR (où Q est orthogonale et R est triangulaire.)
La méthode exposée ici est celle Householder, qui est utilise des symétries orthogonales par rapport à des hyperplans.
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On étudie ici un produit scalaire sur l’espace des matrices réelles carrées d’ordre 2. Un problème assez technique mais vraiment utile pour qui veut réviser les notions relatives aux espaces eculidiens.
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Dans ce problème assez court et plutôt facile, on résout un système linéaire tridiagonal symétrique d'ordre n, dépendant d'un paramètre. Il faut d'abord étudier la matrice de ce système, et notamment son déterminant, qui est une fonction polynomiale du paramètre.
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Problèmes de concours
Problème révisions calcul matriciel
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