Problèmes

Tout, tout, vous saurez tout (ou presque) sur les polynômes cyclotomiques. Le problème est divisé en huit parties. La première expose quelques propriétés, utiles pour la suite, des poynômes à coefficients entiers. La seconde est consacrée aux racines primitives n-ièmes de l'unité (plus généralement, on y trouve quelques propriétés classiques des groupes cycliques). Dans la troisième partie, on voit réapparaître l'indicateur d'Euler et la fonction de Mobius (qui figuraient déjà dans le DS n°4.) La partie IV introduit les polynômes cyclotomiques, et en donne les premières propriétés. La partie V donne des méthodes pratiques de calcul de ces polynômes. Dans la partie VI, on découvre quelques propriétés de leurs coefficients. Les parties VII et VIII démontrent l'irréductibilité du polynôme cyclotomique d'indice n, d'abord quand n est premier (avec le critère d'Eisenstein) ensuite dans le cas général.